大最小度图随机子图中的长路径与圈

对于图 $G$ 与 $p\in [0,1]$，令 $G_p$ 通过对 $G$ 的每条边以概率 $1-p$ 相互独立地删除而得到。随机图模型 $(K_n)_p$ 无疑是被研究最多的随机图模型，也称为 $G(n,p)$-模型。我们证明，若 $G$ 是最小度至少为 $n-1$ 的任意图，则关于最长路径/圈长度的若干结果自然可推广至 $G_p$。对于常数 $c$，我们证明渐近几乎必然地，最长路径的长度至少为 $(1-(1+\epsilon(c))ce^{-c})n$，其中某函数 $\epsilon(c)\to 0$ 当 $c\to \infty$，且最长圈的长度至少为 $(1-O(c^{- \frac{1}{5}}))n$。第一个结果在渐近意义下是最优的。这推广了 $G(n,p)$-模型中关于随机图最长路径/圈长度的若干已知结果。