H-自由图的随机子图中的长路径与长环

设$\mathcal{H}$是一个给定的有限（可能为空）连通图族，每个图包含一个环，并设$G$是一个任意有限的$\mathcal{H}$-自由图，最小度至少为$k$。对于$p \in [0,1]$，我们通过独立地以概率$p$保留$G$的每条边，形成$G$的$p$-随机子图$G_p$。扩展了Ajtai、Komlós和Szemerédi的经典结果，我们证明对于每个正数$\varepsilon$，存在一个正数$\delta$（仅依赖于$\varepsilon$），使得以下结论成立：如果$p \ge \frac{1+\varepsilon}{k}$，那么当$k \to \infty$时，以趋于1的概率，随机图$G_p$包含一个长度至少为$n_{\mathcal{H}}(\delta k)$的环，其中$n_{\mathcal{H}}(k)>k$是平均度至少为$k$的$\mathcal{H}$-自由图的最小顶点数。因此，特别地，上述$G_p$通常包含一个长度至少与$k$成线性关系的环。