随机图中近乎生成$k$-圈的局部弹性

著名的Pósa-Seymour猜想于1998年由Komlós、Sárközy和Szemerédi证实，该猜想指出对于任意$k \geq 2$，每个具有最小度$kn/(k+1)$的$n$顶点图包含哈密顿圈的$k$次幂。我们将此结果推广到稀疏随机环境。我们证明对任意$k \geq 2$，存在$C > 0$使得若$p \geq C(\log n/n)^{1/k}$，则高概率地，随机图$G_{n,p}$的每个最小度至少为$(k/(k+1)+o(1))np$的子图包含至少$(1-o(1))n$个顶点的圈的$k$次幂，改进了Noever和Steger对$k=2$以及Allen等人对于$k \geq 3$的近期结果。我们的结果在三个方面几乎是最佳可能的：对于$p \ll n^{-1/k}$，随机图$G_{n,p}$高概率地不包含任何长圈的$k$次幂；存在$G_{n,p}$的具有最小度$(k/(k+1)+o(1))np$且$\Omega(p^{-2})$个不属于三角形的顶点的子图；存在最小度$(k/(k+1)-o(1))np$且不包含$(1-o(1))n$个顶点的圈的$k$次幂的$G_{n,p}$子图。