随机图中哈密顿圈的幂与随机超图中的紧哈密顿圈

我们证明了对于每个 $k \in \mathbb{N}$，存在 $C > 0$，使得若 $p^k \ge C \log^8 n / n$，则随机图 $G_{n,p}$ 以渐近几乎必然的方式包含哈密顿圈的 $k$\textsuperscript{th} 幂。这确定了哈密顿圈平方出现的阈值直至对数因子，改进了 K\"uhn 和 Osthus 的结果。此外，我们的证明提供了一种随机拟多项式算法来寻找此类圈的幂。利用类似思想，我们还给出了一种随机拟多项式算法，用于在随机 $k$-一致超图 $G_{n,p}^{(k)}$ 中寻找紧哈密顿圈，其中 $p \ge C \log^8 n/ n$。证明基于吸收法，并遵循 K\"uhn 和 Osthus 以及 Allen 等人的策略。新的要素是一个一般的连接引理（Connecting Lemma），它允许我们在近乎最优的 $p$ 值下使用任意结构连接顶点元组。连接引理及其证明（基于 Janson 不等式和贪心嵌入策略）可能具有独立意义。