超立方体随机子图的哈密顿性

我们研究超立方体 $\mathcal{Q}^n$ 随机子图中的哈密顿性。我们的第一个主要定理是最优命中时间结果。考虑依均匀随机次序包含 $\mathcal{Q}^n$ 各边的随机过程。则在高概率意义下，该过程所产生的图一旦最小度数为 $2k$，便包含 $k$ 条边不交哈密顿圈，对任意固定 $k\in\mathbb{N}$ 成立。其次，我们得到一个扰动结果：若 $H\subseteq\mathcal{Q}^n$ 满足 $\delta(H)\geq\alpha n$，其中 $\alpha>0$ 固定，且考虑 $\mathcal{Q}^n$ 的随机二项子图 $\mathcal{Q}^n_p$（$p\in(0,1]$ 固定），则高概率下 $H\cup\mathcal{Q}^n_p$ 包含 $k$ 条边不交哈密顿圈，对任意固定 $k\in\mathbb{N}$ 成立。特别地，两结果均解决了由 Bollobás 等人提出的长期猜想：超立方体随机二项子图中哈密顿性的阈值概率等于 $1/2$。我们的技术还表明，高概率下对所有固定 $p\in(0,1]$，图 $\mathcal{Q}^n_p$ 包含几乎生成圈。我们的方法涉及分支过程、Rödl 啃食与吸收。