加权 Erdős-Rényi 图中的哈密顿圈

给定一个对称 $n\times n$ 矩阵 $P$，满足 $0 \le P(u, v)\le 1$，我们在 $[n]$ 上通过以概率 $P(u, v)$ 独立包含任意边 $\{u, v\}$ 定义随机图 $G_{n, P}$。对 $k\ge 1$，令 $\mathcal{A}_k$ 为包含 $\lfloor k/2 \rfloor$ 个哈密顿圈、且若 $k$ 为奇数则另含一个完美匹配的性质，所有边均不相交。在 $P$ 的特征值条件及其行和条件下，$G_{n, P}\in \mathcal{A}_k$ 以高概率发生当且仅当 $G_{n, P}$ 以高概率具有最小度 $k$。我们也给出了一个击中时版本。作为特例，伪随机 $(n, d, \mu)$-图上的随机图过程，当 $\mu \le d(d/n)^\alpha$（其中常数 $\alpha > 0$）时，一旦以高概率获得最小度 $k$ 即具有性质 $\mathcal{A}_k$。