关于大图上的 Erdős-Rényi 子图的哈密顿圈

给定一个具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的图 $\Gamma = (V, E)$，我们定义以 $\Gamma$ 为主图的 Erdős-Rényi 图过程如下。均匀随机地选取 $E$ 的一个排列 $e_1,\dots,e_m$，并对 $t\leq m$ 令 $\Gamma_t = (V, \{e_1,\dots,e_t\})$。假设 $\Gamma$ 的最小度满足 $\delta(\Gamma) \geq (1/2 + \varepsilon)n$，其中 $\varepsilon > 0$ 为某常数。则在高概率意义下，$\Gamma_t$ 在其最小度首次达到至少 2 的同时变为哈密顿图。给定 $0\leq p\leq 1$，令 $\Gamma_p$ 为 $\Gamma$ 的 Erdős-Rényi 子图，即每条边以概率 $p$ 独立保留所得。当 $\delta(\Gamma)\geq (1/2 + \varepsilon)n$ 时，我们给出哈密顿性的阈值函数 $p_0$，使得若 $(p-p_0)n\to -\infty$ 则 $\Gamma_p$ 在高概率意义下不是哈密顿图，而若 $(p-p_0)n\to\infty$ 则 $\Gamma_p$ 在高概率意义下是哈密顿图。