正则图的哈密顿分解的个数

图 $\Gamma$ 中的哈密顿圈是指经过 $\Gamma$ 每个顶点的圈。$\Gamma$ 的哈密顿分解是指将其边集划分为不相交的哈密顿圈。图论中最古老的结果之一是19世纪Walecki定理，该定理表明具有奇数个顶点 $n$ 的完全图 $K_n$ 存在哈密顿分解。最近K\"{u}hn和Osthus极大地推广了这一结果。他们证明了对于每个 $r$-正则 $n$-顶点图 $\Gamma$，若偶数度 $r=cn$（其中固定 $c>1/2$），且 $n=n(c)$ 足够大，则 $\Gamma$ 存在哈密顿分解。本文探讨估计 $H(\Gamma)$（即 $\Gamma$ 的此类分解的个数）这一自然问题。我们的主要结果是 $H(\Gamma)=r^{(1+o(1))nr/2}$。特别地，完全图 $K_n$ 的哈密顿分解的个数为 $n^{(1-o(1))n^2/2}$。