r-图与拟随机 r-图中超过期望的哈密顿圈

设 $H_r(n,p)$ 表示具有密度 $p \in (0,1)$ 的 $n$ 顶点 $r$-图中哈密顿圈的最大数量。随机 $r$-图模型 $G_r(n,p)$ 中哈密顿圈的期望数量为 $E(n,p)=p^n(n-1)!/2$，而在具有 $m=p\binom{n}{r}$ 的随机图模型 $G_r(n,m)$ 中，该期望实际上略小于 $E(n,p)$。对于图（$r=2$），已证明 $H_2(n,p)$ 仅比 $E(n,p)$ 大一个多项式因子，并且一个密度为 $p$ 的拟随机图能否比 $E(n,p)$ 大一个多项式因子仍是一个开放问题。对于超图（即 $r \ge 3$），情况截然不同。对所有 $r \ge 3$，已证明 $H_r(n,p)$ 比 $E(n,p)$ 大一个{\em 指数}因子，而且，存在密度为 $p$ 的拟随机 $r$-图，其哈密顿圈数量比 $E(n,p)$ 大一个指数因子。