随机图过程中完美匹配与 Hamilton 性的韧性

设 $\{G_i\}$ 为随机图过程:从具有 $n$ 个顶点的空图 $G_0$ 开始,在每一步 $i \geq 1$,图 $G_i$ 是通过在不存在边中均匀随机选取一条边并将其加入图 $G_{i - 1}$ 而形成的。Ajtai、Koml\'{o}s 和 Szemer\'{e}di 以及独立地 Bollob\'{a}s 的经典“命中时间”结果表明,渐近几乎必然地,该图在最小度达到 $2$ 时即成为 Hamilton 图,即若 $\delta(G_i) \ge 2$ 则 $G_i$ 是 Hamilton 图。我们建立了该结果的韧性版本。特别地,我们证明随机图过程几乎必然生成一个图序列,使得对于 $m \geq (\tfrac{1}{6} + o(1))n\log n$ 条边,即使对手移除与每个顶点关联的 $(\tfrac{1}{2} - o(1))$ 比例的边,图 $G_m$ 的 $2$-核仍保持 Hamilton 性。对于完美匹配,我们得到了类似的结果。