稠密超图的随机稀疏化中的 Berge Hamilton 圈

在标准随机图过程中，边逐一均匀随机地添加到初始为空的图中。Ajtai、Komlós 和 Szemerédi 的经典结果，以及 Bollobás 独立得到的结果表明，在标准随机图过程中，以高概率，当最小度变为 $2$ 时图恰好变为哈密顿图；这被称为一个 \emph{命中时间} 结果。Johansson 将此结果推广如下：对于满足 $\delta(G) \geq (1/2+\varepsilon)n$ 的图 $G$，在限制于宿主图 $G$ 的随机图过程中，最小度为 $2$ 的命中时间与哈密顿性的命中时间仍然以高概率重合。本文将 Johansson 的结果推广到超图中的 Berge Hamilton 圈。我们证明，若一个 $r$-一致超图 $H$ 满足 $\delta_1(H) \geq (\frac{1}{2^{r-1}} + \varepsilon)\binom{n-1}{r-1}$ 或 $\delta_2(H) \geq \varepsilon n^{r-2}$，则在由 $H$ 的边生成的随机过程中，超图达到最小度 $2$ 的时间与其包含 Berge Hamilton 圈的时间以高概率重合。此外，我们证明了关于弱 Berge Hamilton 圈的类似结果。这推广了 Bal、Berkowitz、Devlin 和 Schacht 的工作，后者在 $H$ 为完全 $r$-一致超图的情况下建立了该结果。