随机正则图中的局部韧性与哈密顿性Maker-Breaker博弈

对于单调递增的图性质$\mP$，图$G$关于$\mP$的\emph{局部韧性}是最小的$r$，使得存在一个所有度至多为$r$的子图$H\subseteq G$，且从$G$中移除$H$的边后得到的图不再具有性质$\mP$。这个概念早先针对某些特定性质已有隐式研究，最近在Sudakov和Vu的一篇论文中得到了更系统的处理。关于这一距离概念的大多数研究都集中在二项随机图模型$\GNP$以及一些伪随机图族上，涉及若干图性质，如包含完美匹配和哈密顿性等。在本文中，我们继续探索局部韧性概念，但将注意力转向常数度数的随机和伪随机\emph{正则}图。我们研究了典型随机$d$-正则图关于边连通性、顶点连通性、包含完美匹配以及哈密顿性的局部韧性。特别地，我们证明了对于任意正数$\epsilon$和足够大的$d$，随机$d$-正则图$\GND$关于哈密顿性的局部韧性以高概率至少为$(1-\epsilon)d/6$。我们还证明了对于二项随机图模型$\GNP$，对于任意正数$\epsilon>0$和足够大的$K$，如果$p>\frac{K\ln n}{n}$，那么$\GNP$关于哈密顿性的局部韧性以高概率至少为$(1-\epsilon)np/6$。最后，我们将类似技术应用于位置博弈，并证明了如果$d$足够大，那么以高概率典型随机$d$-正则图$G$满足：在$G$的边上进行的无偏Maker-Breaker博弈中，Maker拥有创建哈密顿圈的必胜策略。