局部极限定理与连通超图的数目

设 $H_d(n,p)$ 表示一个具有 $n$ 个顶点的随机 $d$-一致超图,其中 $\binom{n}{d}$ 条可能的边以概率 $p=p(n)$ 独立出现;设 $H_d(n,m)$ 表示顶点数为 $n$、边数为 $m$ 的均匀分布超图。我们在 $\binom{n-1}{d-1}p,\, dm/n>(d-1)^{-1}+\epsilon$ 的参数范围内,推导了 $H_d(n,p)$ 与 $H_d(n,m)$ 最大连通分支的顶点数与边数联合分布的局部极限定理。作为应用,我们得到了 $H_d(n,p)$ 或 $H_d(n,m)$ 连通概率的渐近公式。此外,我们还推导了在给定连通条件下,$H_d(n,p)$ 边数的局部极限定理。虽然该领域先前的工作大多依赖于枚举组合学方法,但本文给出了一种全新的纯概率方法。