边上带随机权重的线上有向图最大路径权重的极限定理

我们考虑顶点为整数集 ...,-2,-1,0,1,2,... 的无穷有向图。设 v 为取有限值或“负无穷”值的随机变量。考虑由整数对 (j,k)（j<k）索引的随机权重 v(j,k)，并假设它们是 v 的独立同分布副本。图的边集为 (j,k)（j<k）。图中从顶点 j 到顶点 k（j<k）的一条路径是有限边序列 (j(0), j(1)), (j(1), j(2)), ..., (j(m-1), j(m))，其中 j(0)=j 且 j(m)=k；该路径的权重取其各边权重之和 v(j(0),j(1))+v(j(1),j(2))+...+v(j(m-1),j(m))。令 w(0,n) 为从 0 到 n 的所有路径的最大权重。在假设 P(v>0)>0、给定 v>0 时 v 的条件分布非退化、且对某个 C>0 有 E exp(Cv) 有限的前提下，我们研究序列 w(0,n)（n=1, 2, ...）当 n 趋于无穷时的渐近行为。在 v 具有算术分布的情形下，我们导出了正态与中偏差 regime 下的局部极限定理。在 v 具有非格点分布的情形下，我们还导出了一个积分局部定理。