稠密极限下随机几何图的连通分支

考虑在 ${\bf R}^d, d \geq 2$ 中具有 $C^2$ 边界的连通紧致区域 $A$ 或单位正方形内的 $n$ 个独立均匀随机点上的几何图，距离参数为 $r_n$。设 $K_n$ 为该图的连通分支数，$R_n$ 为不在巨分支中的顶点数。设 $S_n$ 为孤立顶点数。我们证明，如果选择 $r_n$ 使得 $nr_n^d$ 趋于无穷大但速度足够慢以至于 ${\bf E}[S_n]$ 也趋于无穷大，则当 $n \to \infty$ 时，$K_n$、$R_n$ 和 $S_n$ 在概率上均渐近于 $\mu_n$，其中（$|A|$、$\theta_d$ 和 $|\partial A|$ 分别表示 $A$ 的体积、单位 $d$ 维球的体积和 $A$ 的周长）若 $d=2$，$\mu_n := ne^{-\pi n (r_n)^d/|A|}$；若 $d\geq 3$，$\mu_n := ne^{-\theta_d n (r_n)^d/|A|} + \theta_{d-1}^{-1} |\partial A| (r_n)^{1-d} e^{- \theta_d n (r_n)^d/(2|A|)}$。我们还给出了当 $d \geq 3$ 时以及 $d \geq 2$ 的 Poisson 输入在此极限机制下 $K_n$ 和 $R_n$ 的方差渐近性和中心极限定理。我们将这些结果（以 ${\bf E}[S_n]$ 代替 $\mu_n$）推广到 $A$ 上的一类非均匀分布。