连通阈值以下 k-近邻随机几何图中分量的分布

令 $S_{n,k}$ 表示通过在面积为 $n$ 的正方形内根据强度为 1 的泊松点过程放置点，并将每个这样的点连接到该过程中离它最近的 $k=k(n)$ 个点而获得的随机几何图。在本文中，我们表明如果 $\text{Pr}(S_{n,k} \text{ connected}) > n^{-\gamma_1}$，那么 $S_{n,k}$ 包含一对彼此“接近”的“小”分量的概率为 $o(n^{-c_1})$（在“小”和“接近”的精确意义上），对于某些绝对常数 $\gamma_1>0$ 和 $c_1 >0$。这回答了 Walters 提出的一个问题。（类似的结果由 Balister 独立获得。）作为我们结果的一个应用，我们表明在连通阈值以下，$S_{n,k}$ 的连通分量的分布渐近服从泊松分布。