关于具有给定边数的随机置换图的连通分支
组合数学
2013-09-19 v2
摘要
[n] 上的一个置换会在 [n] 上诱导一个图，使得该图的边对应于置换的逆序对。当且仅当对应的置换是不可分解的时，该图是连通的。令 s(n,m) 表示从所有恰好具有 m 个逆序对的 [n] 置换中均匀随机选取的一个置换。令 p(n,m) 为 s(n,m) 不可分解或其对应图连通的概率公共值。我们通过构造一个马尔可夫过程证明了 p(n,m) 随 m 非递减，在该过程中 s(n,m+1) 是通过将 s(n,m) 的逆序序列中的一个分量增加 1 而获得的。我们表明，当 m 渐近于 (6/(\pi^2))nln(n) 时，对应于 s(n,m) 的图以趋近于 1 的概率变得连通。更精确地说，对于 m=(6n/(\pi^2)) [ln(n)+ lnln(n)/2+ ln(12)- ln(\pi)- 12/(\pi^2)+x_n]，其中 |x_n|=o(lnlnln(n))，随机图的分支数被证明渐近于 1+Poisson(e^{-x_n})。当 x_n 趋向负无穷时，最大和最小分支的大小（按 n 缩放）渐近于 [0,1] 区间被 [e^{-x_n}] 个随机且独立散布的点划分后，所得最大和最小子区间的长度。
引用
@article{arxiv.1211.0246,
title = {On the connected components of a random permutation graph with a given number of edges},
author = {Huseyin Acan and Boris Pittel},
journal= {arXiv preprint arXiv:1211.0246},
year = {2013}
}
备注
35 pages. Title changed, typos corrected, minor changes in the proofs, a new figure added