t(3,n)的渐近上界及其对t(4,n)的应用

在简单图 G(V,E) 中，顶点集合 X\subseteq V 如果每个顶点 x\in X 要么在诱导子图 G[X] 中孤立，要么有一个私有邻居 y\in V\setminus X 使得 y 与 x 相邻且不与 X 的其他顶点相邻，则称 X 为冗余集。混合 Ramsey 数 t(m,n) 是指最小的 N，使得 K_N 的每一种红蓝染色都在蓝子图中包含一个 m 元素的冗余集，或在红子图中包含一个 n 元素的独立集。冗余 Ramsey 数 s(m,n) 是指最小的 N，使得 K_N 的每一种红蓝染色都在蓝子图中包含一个 m 元素的冗余集，或在蓝子图中包含一个 n 元素的冗余集。在本文中，我们通过证明 t(3,n)=O\left(n^{5/4}/{\log{n}}\right) 来确定 t(3,n) 和 s(3,n)，从而提高了 Rousseau 和 Speed 于 2003 年在 Comb. Probab. Comput. 中给出的最佳上界。作为应用，我们验证了由 Chen、Hattingh 和 Rousseau 在 1993 年的 J. Graph Theory 中提出的 m=4 情形猜想。