关于 Conlon、Fox 与 Wigderson 的一个猜想

对于图 $G$ 和 $H$，拉姆齐数 $r(G,H)$ 是最小的正整数 $N$，使得完全图 $K_N$ 的任意红/蓝边染色都包含红色 $G$ 或蓝色 $H$。书 $B_n$ 是由 $n$ 个三角形全部共享一条公共边组成的图。最近，Conlon、Fox 和 Wigderson 猜想，对于任意 $0<\alpha<1$，随机下界 $r(B_{\lceil\alpha n\rceil},B_n)\ge (\sqrt{\alpha}+1)^2n+o(n)$ 不是紧的。换言之，存在某个常数 $\beta>(\sqrt{\alpha}+1)^2$，使得对所有足够大的 $n$ 有 $r(B_{\lceil\alpha n\rceil},B_n)\ge \beta n$。该猜想对每一个 $\alpha< 1/6$ 由 Nikiforov 和 Rousseau 在 2005 年的一项结果成立，该结果说在此范围内对所有足够大的 $n$ 有 $r(B_{\lceil\alpha n\rceil},B_n)=2n+3$。我们反驳了 Conlon、Fox 和 Wigderson 的猜想。事实上，我们证明了随机下界对每个 $1/4\leq \alpha\leq 1$ 是渐近紧的。此外，我们证明了对于任意 $1/6\leq \alpha\le 1/4$ 和大的 $n$，$r(B_{\lceil\alpha n\rceil}, B_n)\le\left(\frac 32+3\alpha\right) n+o(n)$，其中当 $\alpha=1/6$ 或 $1/4$ 时该不等式渐近紧。我们还给出了对 $1/6\le\alpha< \frac{52-16\sqrt{3}}{121}\approx0.2007$ 的 $r(B_{\lceil\alpha n\rceil}, B_n)$ 的下界，表明随机下界不是紧的，即 Conlon、Fox 和 Wigderson 的猜想在该区间内成立。