图扩张中的两个拉姆齐问题

给定图 $G$ 和 $H$，若 $G$ 的边的一切 $r$-染色都包含 $H$ 的单色拷贝，则称 $G \stackrel{r}{\to} H$。令 $H[t]$ 表示 $H$ 的 $t$-扩张。扩张拉姆齐数 $B(G \stackrel{r}{\to} H;t)$ 是使得 $G[n] \stackrel{r}{\to} H[t]$ 成立的最小 $n$。Fox、Luo 和 Wigderson 改进了 Souza 的上界，证明给定 $G$、$H$ 和 $r$ 满足 $G \stackrel{r}{\to} H$ 时，存在常数 $a=a(G,H,r)$ 和 $b=b(H,r)$，使得对所有 $t \in \mathbb{N}$ 有 $B(G \stackrel{r}{\to} H;t) \leq ab^t$。他们猜想存在某些图 $H$，使得依赖于 $G$ 的常数 $a$ 是必要的。我们证明了该猜想，表明当 $H$ 为 $3$-色连通图（特别地包括三角形）时命题成立。另一方面，或许令人惊讶地，我们证明对森林 $F$，函数 $B(G \stackrel{r}{\to} F;t)$ 与 $G$ 无关。其次，我们证明对任意 $r,t \in \mathbb{N}$，任意足够大的 $n$ 个顶点的 $r$-边染色完全图，若每种颜色有 $\Omega(n^{2-1/t})$ 条边，则包含某个有限族 $\mathcal{F}^r_t$ 中的 $r$-边染色完全图。这回答了 Bowen、Hansberg、Montejano 和 M"uyesser 的一个猜想。