有界度树的拉姆齐良性

给定一对图 $G$ 和 $H$，拉姆齐数 $R(G,H)$ 是最小的 $N$，使得完全图 $K_N$ 的边的每种红蓝着色都包含 $G$ 的红副本或 $H$ 的蓝副本。如果图 $G$ 是连通的，众所周知且易于证明 $R(G,H) \geq (|G|-1)(\chi(H)-1)+\sigma(H)$，其中 $\chi(H)$ 是 $H$ 的色数，$\sigma(H)$ 是 $H$ 的 $\chi(H)$-着色中最小颜色类的大小。如果 $R(G,H)= (|G|-1)(\chi(H)-1)+\sigma(H)$，则称图 $G$ 是 $H$-良的（$H$-good）。拉姆齐良性的概念由 Burr 和 Erd\H{o}s 于 1983 年引入，此后被广泛研究。在本文中，我们证明如果 $n\geq \Omega(|H| \log^4 |H|)$，则每个 $n$ 个顶点的有界度树 $T$ 都是 $H$-良的。 $n$ 与 $|H|$ 之间的依赖关系在 $\log$ 因子范围内是最优的。这极大地改进了 Erd\H{o}s、Faudree、Rousseau 和 Schelp 在 1985 年的结果，他们证明了当 $n \geq \Omega(|H|^4)$ 时，$n$ 个顶点的有界度树是 $H$-良的。