关于树的拉姆齐优性度条件的注记

对于给定的图 $G_{1}, G_{2}$ 和 $G$，记 $G\rightarrow (G_{1}, G_{2})$ 表示对 $E(G)$ 的任意红蓝着色均产生一个红色 $G_{1}$ 副本或一个蓝色 $G_{2}$ 副本。Arag{\~a}o, Marciano 和 Mendon{\c c}a 证明了如下结论：设 $G$ 为 $N\geq (n-1)(m-1)+1$ 个顶点的图，若 $\delta(G)\geq N-\lceil n/2\rceil$，则 $G\rightarrow (P_{n}, K_{m})$，其中 $P_{n}$ 为一棵 $n$ 个顶点的树。在本文中，我们将 $P_{n}$ 推广至任意 $n$ 个顶点的树 $T_{n}$，并改进了 $\delta(G)$ 的下界。当 $T_{n}\neq K_{1, n-1}$ 时我们进一步改进了下界，部分确认了他们的猜想。