图的Ramsey良态性之书的再探

Ramsey数 $r(G,H)$ 是最小的 $N$，使得每个 $N$ 个顶点的图包含 $G$ 作为子图，或其补图包含 $H$ 作为子图。对于整数 $n \geq k \geq 1$，$k$-书 $B_{k,n}$ 是 $n$ 个顶点上的图，由一个 $K_k$ 的拷贝（称为书脊）以及 $n-k$ 个附加顶点组成，每个附加顶点与书脊的每个顶点相邻且彼此不相邻。一个 $n$ 个顶点上的连通图 $H$ 称为 $p$-良的，若 $r(K_p,H)=(p-1)(n-1)+1$。Nikiforov与Rousseau证明了若 $n$ 关于 $p$ 和 $k$ 充分大，则 $B_{k,n}$ 是 $p$-良的。他们的证明使用Szemerédi正则引理并给出关于 $n$ 的塔型界。我们给出一个简短的新证明，避免使用正则方法，并表明每个满足 $n \geq 2^{k^{10p}}$ 的 $B_{k,n}$ 是 $p$-良的。利用Szemerédi正则引理，Nikiforov与Rousseau还证明了更一般的良态型结果，对若干稀疏图族 $G$ 和 $H$ 给出了 $r(G,H)$ 的紧界，只要 $|V(G)| < \delta |V(H)|$ 对某个小常数 $\delta > 0$ 成立。利用我们的技术，我们证明此类新结果，表明当 $H =B_{k,n}$ 且 $G$ 是一个完全 $p$-部图，其前 $p-1$ 个部分大小为常量、最后一部分大小为 $\delta n$（对某小常数 $\delta>0$）时，$r(G,H) = (p-1)(n-1)+1$。同样，我们的证明不使用正则方法，从而对 $\delta$ 给出双指数界。