4-圈与书图的拉姆齐数

给定正整数n和k，书图B_n^(k)由n个共享一个公共K_k的K_{k+1}副本组成。书图是星和团的常见推广，分别取k=1和n=1即可得到。此外，书图的拉姆齐数与对角拉姆齐数密切相关。因此，研究与书图相关的极值问题具有重大意义。在本文中，我们旨在研究拉姆齐数r(C₄, B_n^(k))，即最小的整数N，使得任意N个顶点的图G要么包含C₄作为子图，要么其补图G̅包含B_n^(k)作为子图。对于k=1，Parsons的开创性工作给出了r(C₄, B_n^(1))的上界，该上界对无穷多个n是紧的。对于k=2，最近的一篇论文中第二、第三和第四作者对无穷多个n获得了r(C₄, B_n^(2))的精确值。本文的目标是对每个整数k≥3证明类似的结果。具体而言，给定整数k≥3和常数0<ε<1，令n=q²-kq+t+C(k,2)-k，Q(k,ε)=(320k⁴)^(k+1)/ε^(2k)，其中1≤t≤(1-ε)q。我们首先在q≥Q(k,ε)的条件下建立了r(C₄, B_n^(k))的上界。然后我们证明当q≥Q(k,ε)为素数幂且1≤t≤(1-ε)q满足某些假设时，该上界是紧的。证明利用了对C₄-自由图的一个著名不等式的简单但新颖的改进。因此，对每个k≥3，我们对无穷多个n获得了r(C₄, B_n^(k))的精确值。此外，我们对k≥3证明了r(C₄, B_n^(k))的一般上界和下界。