随机图中多数度有界图的拉姆齐数

对图 $F$ 和 $G$，记 $F\to G$ 表示 $F$ 的任意红/蓝边着色包含单色 $G$。用 ${\cal G}(N,p)$ 表示阶为 $N$、边概率为 $p$ 的随机图空间。利用正则方法，可证对任意固定的 $p\in (0,1]$，几乎所有图 $F\in{\cal G}(cn,p)$ 都满足 $F\to G$，其中 $G$ 为阶 $n$ 且至多 $m$ 个度无界的任意图，$c$ 为依赖于 $p$ 和 $m$ 的整数。注意到当 $n\to\infty$ 时 $r(K_{m,n})\sim 2^m n$ 且 $r(K_m+\overline{K}_n)\sim 2^m n$，我们研究 $c$ 与 $p$ 的关系。令 $N=\lfloor c\,2^m n\rfloor$，其中 $c>1$，且 $p_u,p_\ell=\frac{1}{c^{1/m}}(1\pm \sqrt{\frac{M\log n}{n}}\,)$，其中 $M=M(c,m)>0$。结果表明 $p_u$ 与 $p_\ell$ 是 ${\cal G}(N,p)$ 中 $K_{m,n}$ 的拉姆齐阈值。即几乎所有 $F\in{\cal G}(N,p_u)$ 有 $F\to K_{m,n}$，而几乎所有 $F\in{\cal G}(N,p_\ell)$ 无此性质。此外，证明了 $p_u$ 与 $p_\ell$ 分别是 $K_m+\overline{K}_n$ 在 ${\cal G}(N,p/2)$ 中出现的（普通）上阈值与下阈值。我们表明 ${\cal G}(N,p/2)$ 可识别为对 $F\in{\cal G}(N,p)$ 以各色概率 $1/2$ 进行红/蓝边着色所得的红（或蓝）图集合，由此引出弱拉姆齐阈值的定义。