扇图的拉姆齐良态性

给定两个图 $G_1$ 与 $G_2$，拉姆齐数 $r(G_1,G_2)$ 指最小正整数 $N$，使得任意含 $N$ 个顶点的图 $G$ 包含 $G_1$ 作为子图，或其补图包含 $G_2$ 作为子图。若连通图 $H$ 满足 $r(K_p,H)=(p-1)(|H|-1)+1$，则称其为 $p$-良态的。广义扇图记为 $K_1+nH$，由 $n$ 个 $H$ 的拷贝的不交并外加一个与 $nH$ 每个顶点相连的顶点构成。近来 Chung 与 Lin 证明：当 $n\ge cp\ell/|H|$ 时，$K_1+nH$ 是 $p$-良态的，其中 $c\approx 52.456$ 且 $\ell=r(K_{p},H)$。他们还提出进一步改进 $n$ 下界以使 $K_1+nH$ 保持 $p$-良态的问题。本文给出三种改进 $n$ 范围的方法。首先，应用 Andr\'asfai-Erd\H{o}s-S\'os 定理将 $c$ 由 $52.456$ 降至 $3$。其次，利用 Chen 与 Zhang 建立的方法将 $c$ 进一步降至 $2$。最后，采用新方法将 $c$ 降至 $1$。此外，当 $K_1+nH$ 构成扇图 $F_n$ 时，我们可进一步得到稍精细的 $n$ 界。