与扇图相关的拉姆齐数的若干精确值

对于给定的两个图 $F$ 和 $H$，拉姆齐数 $R(F,H)$ 是最小整数 $N$，使得完全图 $K_N$ 的任意红蓝边着色包含红色 $F$ 或蓝色 $H$。当 $F=H$ 时，简记为 $R_2(H)$。对于正整数 $n$，令 $K_{1,n}$ 为具有 $n+1$ 个顶点的星图，$F_n$ 为具有 $2n+1$ 个顶点、由 $n$ 个三角形共享一个公共顶点构成的扇图，$nK_3$ 为通过 $n$ 个三角形不交并得到的具有 $3n$ 个顶点的图。1975 年，Burr、Erd\H{o}s 和 Spencer \cite{B} 证明了对于 $n\ge2$ 有 $R_2(nK_3)=5n$。然而，确定 $R_2(F_n)$ 的精确值极为困难。迄今为止，仅证明了 $R_2(F_2)=9$。注意到对所有 $n\ge 2$，$F_n$ 与 $nK_3$ 均含 $n$ 个三角形且 $|V(F_n)|<|V(nK_3)|$。Chen、Yu 和 Zhao（2021）推测对于充分大的 $n$ 有 $R_2(F_n)\le R_2(nK_3)=5n$。本文中，我们首先证明对于 $n\ge1$ 有 $R(K_{1,n},F_n)=3n-\varepsilon$，其中当 $n$ 为奇数时 $\varepsilon=0$，当 $n$ 为偶数时 $\varepsilon=1$。应用 $R(K_{1,n},F_n)$ 的精确值，我们将通过证明 $R_2(F_3)=14$ 来确认对于 $n=3$ 有 $R_2(F_n)\le 5n$。