星图与团图的尺寸拉姆齐数

两个图 $G$ 和 $H$ 的尺寸拉姆齐数 $\hat{r}(G,H)$ 是最小整数 $m$，使得存在具有 $m$ 条边的图 $F$，其性质为对 $F$ 的边任意红-蓝着色，均产生 $G$ 的红色拷贝或 $H$ 的蓝色拷贝。1981 年，Erd\H{o}s 观察到 $\hat{r}(K_{1,k},K_{3})\leq \binom{2k+1}{2}-\binom{k}{2}$，并猜想 $\hat{r}(K_{1,k},K_{3})$ 的相应上界是紧的。1983 年，Faudree 和 Sheehan 将该猜想扩展如下：\hat{r}(K_{1,k},K_{n})=\left \{ {lr} \binom{k(n-1)+1}{2}-\binom{k}{2} & ~k\geq n~ \text{or}~ k~ \text{odd}. \binom{k(n-1)+1}{2}-k(n-1)/2 & \text{otherwise}. \right. 他们证明了 $k=2$ 的情形。2001 年，Pikhurko 表明该猜想对 $n=3$ 和 $k\geq 5$ 不成立，从而反驳了前述 Erd\H{o}s 猜想。本文中，我们证明了对于给定的 $k\geq 2$ 和 $n\geq k^{3}+2k^{2}+2k$，Faudree 和 Sheehan 的猜想成立。