圈族与路的 size-Ramsey 数

图族 $\mathcal{F}$ 与图 $H$ 的 size-Ramsey 数 $\hat{R}(\mathcal{F},H)$ 是满足如下条件的最小整数 $m$：存在一个具有 $m$ 条边的图 $G$，使得对 $G$ 的边进行任意双色染色（例如红、蓝染色）时，必定出现一个来自 $\mathcal{F}$ 的红色副本或一个 $H$ 的蓝色副本。本文首先聚焦于 $\mathcal{F} = \mathcal{C}_{\le cn}$ 的情形，其中 $\mathcal{C}_{\le cn}$ 是长度至多为 $cn$ 的圈族，而 $H = P_n$。特别地，我们证明了 $2.00365 n \le \hat{R}(\mathcal{C}_{\le n},P_n) \le 31n$。利用类似的技术，我们还成功分析了 $\hat{R}(C_n,P_n)$，此前该问题仅通过正则性方法进行过研究。