团与星的超图拉姆齐数

令 $K_m^{(3)}$ 表示 $m$ 个顶点上的完全 $3$-一致超图，$S_n^{(3)}$ 表示在 $n+1$ 个顶点上由所有与给定顶点关联的 $\binom{n}{2}$ 条边构成的 $3$-一致超图。尽管许多超图拉姆齐数要么至多多项式增长，要么至少指数增长，我们证明非对角拉姆齐数 $r(K_{4}^{(3)},S_n^{(3)})$ 呈现出一种不寻常的中间增长率，即对于某些正常数 $c$ 和 $c'$，有 $$2^{c \log^2 n} \le r(K_{4}^{(3)},S_n^{(3)}) \le 2^{c' n^{2/3}\log n}$$。这些界的证明引入了一个关于网格图的新拉姆齐问题，其本身可能具有独立意义：使得笛卡尔积 $K_N \square K_N$ 的任意 $2$-边染色都包含红色矩形或蓝色 $K_n$ 的最小 $N$ 是多少？