稀疏图的 Fan 良性

设 G 为阶为 n 的连通图，F_k 为由 k 个三角形共享公共顶点的放射，tF_k 为 t 个互斥的 F_k 副本。Brennan (2017) 证明当 G 为单环图且 n ≥ k^2 - k + 1 且 k ≥ 18 时，Ramsey 数 r(G, F_k) = 2n - 1，并询问阈值 c(n) 使得 r(G, F_k) ≥ 2n 对包含至少 c(n) 个环的任意 G 及大 n 成立。在本文中，我们考虑一般稀疏图的放射良性，证明若 G 的边数最多为 n(1 + ε(k))，其中 ε(k) 取决于 k 的常数，则当 n ≥ 36k^4 时，r(G, F_k) = 2n - 1，这表明 c(n) 大于 ε(k) n。此外，若 G 的边数最多为 n(1 + ε(k, t))，其中 ε(k, t) 取决于 k, t 的常数，则在 n ≥ 161t^2k^4 时，r(G, tF_k) = 2n + t - 2。