稀疏图相对于奇数环与路径的渐近最优 Ramsey 良好程度

图 Ramsey 理论中的一个基本问题是确定，对稀疏图 G（具有 n 个顶点），使得 G 对奇数环 C_k 和路径 P_k 为 Ramsey 良好所需的最小 n。Burr、Erdős、Faudree、Rousseau 和 Schelp（Trans. AMS 1982）解决了这一问题，建立了需要 n = Ω(k^{10}) 用于奇数环和 n = Ω(k^{12}) 用于路径的下界。我们解决了该问题的渐近版本，证明了这些下界本质上是紧致的：对于奇数环，n = Ω(k) 就足够了；对于路径，n = Ω(k^2)（或在额外条件下 n = Ω(k)）。具体而言，我们证明：(1) 对于奇数环 C_k（k≥3），我们证明 r(G, C_k) = 2n-1，对任何连通的 n 顶点图 G 满足松弛条件 n = Ω(k) 和 e(G) ≤ (1 + O(1/k^2)) n。(2) 对于路径 P_k（k≥2），我们证明 r(G, P_k) = max{ n + ⌊k/2⌋ - 1, n + k - 2 - α' - γ }，对任何连通的 n 顶点图 G 满足以下条件之一：(i) n = Ω(k^2) 且 e(G) ≤ (1 + O(1/k^2)) n；(ii) n = Ω(k)，δ(G)≥2，α'≥k/2，且 e(G) ≤ (1 + O(1/k)) n。其中，α' 是图 G 的某个适当子图的独立数，若 k-1 整除 n+k-3-α'，则 γ=0，否则 γ=1。因此，我们的结果统一并推广了关于奇数环的经典定理（Bondy 和 Erdős 1973，Faudree 和 Schelp 1974，Rosta 1973），以及关于路径的经典定理（Gerencsér 和 Gyárfás 1967，Faudree、Lawrence、Parsons 和 Schelp 1974，Parsons 1974）。证明的关键创新包括：对端边匹配的一种新型重构以及对 Burr 等人二分引理的增强。