关于 $K_{2,n}$ 相对于圈的 Ramsey 良性

如果 $R(G,H)=(|G|-1)(\chi(H)-1)+\sigma(H)$，其中 $\sigma(H)$ 表示 $H$ 的 $\chi(H)$-染色中最小颜色类的大小，则称图 $G$ 为 $H$-good。在 Ramsey 理论中，研究图 $G$ 是否为 $H$-good 是一个有趣的问题。本文研究了配对 $(K_{2,n},C_m)$ 的 Ramsey 良性，该问题自然处于经典的星-圈与书-圈问题之间。我们证明，对于所有 $m\ge 2n+1$，有 \begin{equation*} R(K_{2,n},C_{\{m,m+1\}})=m+1. \end{equation*}，并由此确立，对于所有 $m\ge 3n+4$，有 \begin{equation*} R(K_{2,n},C_{m})=m+1. \end{equation*}。这证明了在此范围内 $C_m$ 是 $K_{2,n}$-good 的，并改进了 Pokrovskiy 和 Sudakov 关于 Ramsey 良性结果的一个特例。此外，我们给出了一个图的构造，否定了 $K_{2,n}$ 对于所有满足 $n\geq m+2$ 的偶数 $m$ 的 $C_{m}$-good 性。