关于包含奇数环的两个 Ramsey 数的研究

阶为 $(n+2)$ 的 book 图记为 $B_{n}$，其包含 $n$ 个互不相同的三角形副本，这些副本共享一条称为 `base' 的公共边。阶为 $m$ 的环记为 $C_{m}$。近年来已对 Ramsey 数 $R(B_{n}, C_{m})$ 进行大量研究，但在多个 $n$ 与 $m$ 的组合下，其确切值仍未知。2021 年，Lin 与 Peng 在 $n$ 与 $m$ 满足特定条件时求得 $R(B_{n}, C_{m})$ 的值。然而，他们指出在范围 $n\in [\frac{9m}{8}-125, 4m-14]$ 处仍未知。近期论文中，Hu 等人在 $m$ 为奇数且 $n$ 足够大时，在范围 $n\in [ \frac{3m-5}{2}-125, 4m]$ 确定了 book-cycle Ramsey 数的价值。本文延续此研究，扩展至更小的 $n$ 值。我们在 $n\in [2m-3, 4m-14]$ 且 $m\geq 7$ 为奇数时，给出了 $R(B_{n}, C_{m})$ 的下界。这一进展超越了前述结果。若连通图 $G$ 满足公式 $R(G,H)= (|G|-1)(\chi(H)-1)+\sigma(H)$ 即称为 $H$-good，其中 $\chi(H)$ 为 $H$ 的色数，$\sigma(H)$ 为 $\chi(H)$-染色下最小颜色类的大小。本文研究了图对 $(C_{m}, \mathbb{K}_{2,n})$ 的 Ramsey good 性，其中 $\mathbb{K}_{2,n}$ 为完全二分图。我们在 $m\geq 7$ 为奇数且满足 $n\geq 3493$ 与 $n\geq 2m+499$ 时，求得 $R(\mathbb{K}_{2,n},C_{m})$ 的确切值。这表明 $\mathbb{K}_{2,n}$ 为 $C_{m}$-good，从而扩展了前述关于 $(C_{m}, \mathbb{K}_{2,n})$ Ramsey good 性的论述结果。同时，这也提高了前述关于 Ramsey 数 $R(B_{n}, C_{m})$ 下界的结果。