混合奇偶环的 Ramsey 数 II

记 $R(G_1, G_2, G_3)$ 为最小整数 $N$，使得 $N$ 个顶点的完全图的任意三边着色包含一个着颜色 $i$ 的图 $G_i$ 的单色副本，其中 $i\in{1,2,3}$。在由三篇论文组成的系列中（本文为第二篇），我们考虑 $G_1, G_2$ 和 $G_3$ 为混合奇偶环的情形。在本文及前一篇论文中，我们考虑 $R(C_n,C_m,C_{\ell})$，其中 $n$ 和 $m$ 为偶数，$\ell$ 为奇数。Figaj 和 Łuczak 确定了该情形的渐近结果，我们对此加以改进，给出了精确结果。我们证明，当 $n,m$ 和 $\ell$ 充分大时，$R(C_n,C_m,C_\ell)=\max\{2n+m-3, n+2m-3, \tfrac{1}{2} n +\tfrac{1}{2} m + \ell - 2\}$。该结果的证明主要包含在本系列的第一篇论文中，然而，在最长环为奇数长度的情形下，我们需要一个额外的技术性结果，其证明构成了本文的主体部分。