二部 Ramsey 数 $br(C_{2n}, C_{2m})$

给定二部图 $H_1$, …, $H_k$，二部 Ramsey 数 $br(H_1,\dots, H_k)$ 是最小整数 $N$，使得完全二部图 $K_{N, N}$ 的任意 $k$ 边染色在颜色 $i$（$1\le i\le k$）中包含单色 $H_i$。关于圈二部 Ramsey 数的渐近值已有大量结果。对于精确值，Zhang-Sun \cite{Zhangs} 确定了 $br(C_4, C_{2n})$，Zhang-Sun-Wu \cite{Zhangsw} 确定了 $br(C_6, C_{2n})$，Gholami-Rowshan \cite{GR} 确定了 $br(C_8, C_{2n})$。本文解决了所有剩余情形，并给出了所有 $n\ge m\ge 5$ 时 $br(C_{2n}, C_{2m})$ 的精确值，这回答了 Bucić-Letzter-Sudakov \cite{BLS}、Gholami-Rowshan \cite{GR}、Zhang-Sun \cite{Zhangs} 和 Zhang-Sun-Wu \cite{Zhangsw} 所关注的一个问题。