关于二部 Ramsey 数的结构性增长

二部 Ramsey 数是指最小的完全二部图 $K_{N,N}$ 的大小，使得对给定颜色数的每条边着色都不可避免地产生一个指定二部图的单色副本。虽然某些特定图的精确值已被确定，但这些数关于结构图参数的一般渐近行为仍知之甚少。本文研究了二部 Ramsey 理论中依赖于结构的增长现象。对于一个具有 $p$ 个顶点和 $q$ 条边的固定二部图 $G$，我们首先建立了一个形如 $\operatorname{br}(G,K_{n,n}) > C \bigl(\frac{n}{\log n}\bigr)^{(q-1)/(p-2)}$ 的下界。作为一个推论，我们证明足够稠密的二部图无法具有线性的二部 Ramsey 大小。转向偶圈和完全二部图，我们得到了多色二部 Ramsey 数 $\operatorname{br}_k(C_{2t};K_{n,n}) \le c_{t,k}\, n^2/\log^2 n$ 的一个上界，该结果源自 Zarankiewicz 数的经典估计以及一个双重计数论证。基于此结果，我们进一步推导出一个精炼的线性上界，形式为 $\operatorname{br}(C_{2t},G) \le \frac{m}{2} + \frac{29t\sqrt{m}}{2}$，该上界对任何具有 $m$ 条边且无孤立顶点的连通二部图 $G$ 均成立。