Zarankiewicz数与二分Ramsey数

Zarankiewicz 数 $z(b;s)$ 是不包含 $K_{s,s}$ 作为子图的 $K_{b,b}$ 子图的最大尺寸。双色二分 Ramsey 数 $b(s,t)$ 是最小整数 $b$，使得 $K_{b,b}$ 边的任意二色着色均包含第一色的 $K_{s,s}$ 或第二色的 $K_{t,t}$。本工作中，我们设计并利用了一种计算方法以界定和计算 Zarankiewicz 数。借此，我们获得了关于 $z(b;s)$（$3 \le s \le 6$）的若干新值与界限。我们的方法及关于 $z(b;s)$ 的新认知使我们改进了 Goddard、Henning 和 Oellermann 于 2000 年得到的某些二分 Ramsey 数结果。特别地，我们计算出此前未知的最小二分 Ramsey 数 $b(2,5)=17$。此外，我们证明在同构意义下存在唯一的 $2$-着色见证下界 $16<b(2,5)$。我们还找到了 $b(2,2,3)$ 的紧界，$17 \le b(2,2,3) \le 18$，此系当前多色二分 Ramsey 数中最小的开放情形。