关于四边形的某些Zarankiewicz数和二部Ramsey数

Zarankiewicz数$z(m,n;s,t)$是不包含$K_{s,t}$作为子图的$K_{m,n}$的子图的最大边数。二部Ramsey数$b(n_1, \cdots, n_k)$是最小的正整数$b$，使得对$K_{b,b}$的边进行$k$染色后，必然存在某个$i$（$1 \le i \le k$），在第$i$种颜色中有一个单色的$K_{n_i,n_i}$。如果对所有$i$有$n_i=m$，则记该数为$b_k(m)$。本文我们得到了某些四边形（$s=t=2$）的Zarankiewicz数的精确值，并推导了避免四边形的对角多色二部Ramsey数的新界。特别地，我们证明了$b_4(2)=19$，并建立了$b_k(2)$的新的通用上下界。