高度 $C_4$-free 子图及其几何应用

Zarankiewicz 问题是图论中的一个基石问题，旨求不包含完全二分图 $K_{s,s}$ 的 n 顶点图中边数的最大值。虽然该问题在一般图的情况下仍然开放，但过去二十年来，针对 various 受限制的图类——特别是源于几何环境的图类——取得了显著进展，深化了对其结构的理解。在本文中，我们发展了一种新的结构工具，用于解决 Zarankiewicz 类型问题。更具体地说，我们证明，对于任意正整数 $k$，具有平均度为 $d$ 的图要么包含一个平均度至少为 $k$ 的诱导 $C_4$-free 子图，要么包含一个具有 $\Omega_k(d^2)$ 条边的 $d$ 顶点子图。作为该二元法的一个应用，我们提出了一种统一的方法，用于解决大量的几何中的 Zarankiewicz 类型问题，获得每个案例的最优界限。