关于正则子图的 Erdős-Sauer 问题的解决

本文完全解决了 Erdős 和 Sauer 于 1975 年提出的著名问题，该问题寻求对于某个固定的整数 $k\geq 3$，一个 $n$ 顶点图在不包含 $k$-正则子图的情况下所能具有的最大边数。我们证明，任何平均度至少为 $C_k\log \log n$ 的 $n$ 顶点图都包含一个 $k$-正则子图。这与 Pyber、Rödl 和 Szemerédi 的下界相匹配，并实质性地改进了 Pyber 的一个旧结果，该结果表明平均度至少为 $C_k\log n$ 就足够了。我们的方法也可用于渐近地解决 Erdős 和 Simonovits 于 1970 年提出的关于稀疏图的几乎正则子图的问题，并在 Thomassen 于 1983 年提出的关于寻找具有大围长和大平均度的子图的著名问题上取得进展。