关于 Erdős 与 Simonovits 的一个猜想：偶圈
组合数学
2014-01-14 v1
摘要
设 ℱ 为一族图。若一个图不含 ℱ 中任何图作为子图，则称其为 ℱ-自由图。极值图论的基石之一是 Turán 数 ex(n,ℱ) 的研究，即 n 个顶点上 ℱ-自由图的最大边数。定义 Zarankiewicz 数 z(n,ℱ) 为 n 个顶点上 ℱ-自由二部图的最大边数。记 C_k 为长度为 k 的圈，并记 𝒞_k 为圈 C_ℓ 的集合，其中 3 ≤ ℓ ≤ k 且 ℓ 与 k 奇偶性相同。Erdős 与 Simonovits 猜想：对于任意由二部图构成的图族 ℱ，存在一个奇数 k，使得 ex(n,ℱ ∪ 𝒞_k) ∼ z(n,ℱ)。他们通过证明 ex(n,{C_4,C_5}) ∼ z(n,C_4) 证实了 ℱ={C_4} 时的情形。本文推广了这一结果，证明：若 ℓ ∈ {2,3,5} 且 k > 2ℓ 为奇数，则 ex(n,𝒞_{2ℓ} ∪ {C_k}) ∼ z(n,𝒞_{2ℓ})。此外，若 k > 2ℓ + 2 为奇数，则对于无穷多个 n，我们证明极值 𝒞_{2ℓ} ∪ {C_k}-自由图是广义多边形的二部关联图。我们观察到，对于任何奇数 k < 2ℓ，这一精确结果并不成立；并且当 (ℓ,k) 为 (3,3)、(5,3) 或 (5,5) 时，渐近结果也不成立。我们的证明利用了近乎极值图的伪随机性质，这些性质具有独立的研究意义。
引用
@article{arxiv.1107.4715,
title = {On a conjecture of Erdos and Simonovits: Even Cycles},
author = {Peter Keevash and Benny Sudakov and Jacques Verstraete},
journal= {arXiv preprint arXiv:1107.4715},
year = {2014}
}