关于细分图的极值数的进一步研究

给定图$H$，极值数$\mathrm{ex}(n,H)$是$n$个顶点上无$H$图中边数的最大值。我们在若干关于二部图极值数的猜想上取得进展。首先，记$K'_{s,t}$为二部图$K_{s,t}$的细分，我们证明$\mathrm{ex}(n, K'_{s,t}) = O(n^{3/2 - \frac{1}{2s}})$。这证明了Kang、Kim和Liu的一个猜想，并且对于关于$s$足够大的$t$，其隐含常数前为紧的。其次，对任意整数$s, k \geq 1$，我们证明对依赖于$s$和$k$的特定图$L$有$\mathrm{ex}(n, L) = \Theta(n^{1 + \frac{s}{sk+1}})$，回答了Kang、Kim和Liu的另一个问题。该结果触及Erd\H{o}s和Simonovits的一个旧猜想，该猜想断言每个有理数$r \in (1,2)$都是可实现的，即存在适当图$H$使$\mathrm{ex}(n,H) = \Theta(n^r)$，给出了无穷多个新的可现实指数，并蕴含对所有$k \geq 1$，$1 + 1/k$是可现实指数的极限点。记$H^k$为图$H$的$k$重细分，该结果还蕴含对任意二部图$H$及任意$k$，存在$\delta > 0$使得$\mathrm{ex}(n,H^{k-1}) = O(n^{1 + 1/k - \delta})$，部分解决了Conlon和Lee的一个问题。第三，推广Conlon和Lee最近的结果，我们证明任意一侧最大度为$r$且不含$C_4$作为子图的二部图$H$满足$\mathrm{ex}(n, H) = o(n^{2 - 1/r})$。