相交奇圈的 Turán 数与分解数

给定图 $H$ 的极值图是指具有 $n$ 个顶点且不含 $H$ 作为子图的同时边数最多的图。设 $s,t$ 为整数，$H_{s,t}$ 为由 $s$ 个三角形和 $t$ 个长度至少为 5 的奇圈组成且恰好相交于一个公共顶点的图。Erdős 等人 (1995) 确定了 $H_{s,0}$ 的极值图。最近，Hou 等人 (2016) 确定了 $H_{0,t}$ 的极值图，其中 $t$ 个圈具有相同的奇数长度 $q$ 且 $q\ge 5$。本文进一步确定了 $s\ge 0$ 且 $t\ge 1$ 时 $H_{s,t}$ 的极值图。设 $\phi(n,H)$ 为最大整数，使得对于所有具有 $n$ 个顶点的图 $G$，边集 $E(G)$ 可划分为至多 $\phi(n, H)$ 个部分，其中每个部分要么是单条边，要么构成与 $H$ 同构的图。Pikhurko 和 Sousa 猜想：对于 $\chi(H)\geqs3$ 且所有足够大的 $n$，有 $\phi(n,H)=\ex(n,H)$。Liu 和 Sousa (2015) 对 $H_{s,0}$ 验证了该猜想。本文进一步对 $s\ge 0$ 且 $t\ge 1$ 的 $H_{s,t}$ 验证了 Pikhurko 和 Sousa 的猜想。