多部图的独立横向匹配数

多部图的独立横向匹配是指恰好在每个部中选取一个顶点且构成独立集的顶点集合。我们证明，对每一个偶整数 $r\ge 2$，存在 $c_r>0$ 和 $n_0$，使得最大度至多为 $rn/(2r-2)-t$（其中 $t=o(n)$）的每个 $r$ 部图（部的大小为 $n\ge n_0$）至少包含 $c_r t n^{r-1}$ 个独立横向匹配。此结果在 $c_r$ 的值上是最佳的。我们的结果确认了 Haxell 和 Szab\'o 于 2006 年提出的猜想，并部分回答了 Erd\H{o}s 于 1972 年提出的问题，该问题随后被 Bollob\'as、Erd\H{o}s 和 Szemer\'edi 于 1975 年研究。我们还证明，给定任意整数 $s\ge 2$ 和偶整数 $r\ge 2$，存在 $c_{r,s}>0$ 和 $n_0$，使得最大度至多为 $rn/(2r-2)- c_{r, s} n^{1-1/s}$ 的每个 $r$ 部图（部的大小为 $n\ge n_0$）包含恰好每个部中有 $s$ 个顶点的独立集。若一个被广泛认为成立的 Zarankiewicz 数猜想成立，此结果在 $c_{r, s}$ 的值上也是最佳的。我们的结果部分回答了 Di Braccio 和 Illingworth 最近提出的问题。