图的独立横向扩张

在 r 部分图中，大小为 s 的独立横向传递(Independent Transversal of Size s, ITS)由从每个部分选取 s 个顶点构成一个独立集。针对 Bollob\'as、Erd\H{o}s 和 Szemer\'edi (1975) 的一个问题，Di Braccio 和 Illingworth (2024) 询问确保包含 $K_r(s)$ 的 $n \times \cdots \times n$ 多部分图所需的最小度数。我们将其表述为寻找最小 n 的问题，使得任意最大度为 $\Delta$ 的 $n \times \cdots \times n$ 多部分图包含 ITS。对于任意 $\varepsilon>0$，我们证明存在 $\gamma>0$，使得若 $G$ 为分区为 $(V_1, V_2, \ldots, V_r)$ 的多部分图，其中每个部分 $V_i$ 的平均度至多为 $D$，且任意顶点到任何部分 $V_i$ 的最大度至多为 $\gamma D$，且每个部分 $V_i$ 的大小至少为 $(s + \varepsilon)D$，则 $G$ 具有 ITS。部分大小限制 $(s + \varepsilon)D$ 为紧密。该结果扩展了 Loh 和 Sudakov (2007)、Glock 和 Sudakov (2022)、Kang 和 Kelly (2022) 的结果。我们还展示，任何 $n \times \cdots \times n$ 多部分图，其最小度数至少为 $\left(r-1-\frac{1}{2s^2}\right)n$ 包含 $K_r(s)$，并给出一个相对 Tur\'an 类型结果。此外，本文探讨了多部分图中 ITS 的计数问题。