最大度较小的图中独立集的数量

设${\rm ind}(G)$为图$G$中独立集的数量。我们证明，若$G$的最大度至多为$5$，则$${\rm ind}(G) \leq 2^{{\rm iso}(G)} \prod_{uv \in E(G)} {\rm ind}(K_{d(u),d(v)})^{\frac{1}{d(u)d(v)}}$$（其中$d(\cdot)$为顶点度，${\rm iso}(G)$为$G$中孤立顶点数，$K_{a,b}$为完全二部图，其两个划分类分别有$a$和$b$个顶点），等号成立当且仅当$G$的每个连通分量要么是完全二部图，要么是单个顶点。该界（对所有$G$）由Kahn猜想。我们结果的一个推论是，若$G$是$d$-正则图且$1 \leq d \leq 5$，则$${\rm ind}(G) \leq \left(2^{d+1}-1\right)^\frac{|V(G)|}{2d},$$等号成立当且仅当$G$是$V(G)/2d$个$K_{d,d}$副本的不交并。该界（对所有$d$）由Alon和Kahn猜想，最近由第二作者对所有$d$证明，但未刻画极值情形。我们的证明涉及归约到有限搜索。对于最大度至多为$3$的图，搜索可手工完成，但对于最大度为$4$或$5$的情形，需要计算机辅助。