正则图中独立集数量的一个上界

记${\cal I}(G)$为图$G$的独立集集合，$i(G)$为$|{\cal I}(G)|$。已有猜想（由Alon和Kahn提出）认为，对于一个$N$顶点、$d$正则图$G$，有$$i(G) \leq \left(2^{d+1}-1\right)^{N/2d}.$$若该猜想成立，则此界是紧的，可由$N/2d$个$K_{d,d}$副本的不交并达到。Kahn对二分图$G$建立了该界，随后给出一个论证，对不一定二分的$G$建立了$$i(G)\leq 2^{\frac{N}{2}\left(1+\frac{2}{d}\right)}.$$在本文中，我们将此改进为$$i(G)\leq 2^{\frac{N}{2}\left(1+\frac{1+o(1)}{d}\right)},$$其中$o(1) \rightarrow 0$当$d \rightarrow \infty$，这在前两项指数上与猜想的上界匹配。我们作为推论，通过对$N$顶点、$d$正则图$G$的独立集多项式$P(\lambda,G)=\sum_{I \in {\cal I}(G)} \lambda^{|I|}$的一个新上界得到此界，即$$P(\gl,G) \leq (1+\gl)^{\frac{N}{2}} 2^{\frac{N(1+o(1))}{2d}},$$对所有$\gl > 0$成立。这也使我们能够改进Carroll、Galvin和Tetali最近关于正则图中固定大小独立集数量的界。