布尔格子中间两层的最大独立集

设 $B(2d-1, d)$ 为超立方体 $\mathcal{Q}_{2d-1}$ 由其两个最大层诱导的子图。Duffus、Frankl 和 Rödl 提出了求解 $B(2d-1, d)$ 中最大独立集个数的对数 asymptotics 的问题。Ilinca 和 Kahn 确定了对数级数，并重申了求解其数量级的问题。我们表明 $B(2d-1,d)$ 中最大独立集的个数为\n\n$$\left(1+o(1)\right)(2d-1)\exp\left(\frac{(d-1)^2}{2^{2d-1}}\binom{2d-2}{d-1}\right)\cdot 2^{\binom{2d-2}{d-1}},$$\n\n并描述其典型结构。该证明使用了 Sapozhenko 图容器引理的新变体、新的等距引理、Hujter 和 Tuza 关于三角无图中最大独立集个数的定理，以及 Kahn 和 Park 对该结果的稳定性版本等等工具。