稀疏随机超图中寻找大独立集的低度困难性

我们研究在平均度为 $d$ 的 $n$ 个顶点上的 Erdos-Renyi $r$-一致超图中寻找大独立集的算法任务。Krivelevich 和 Sudakov 证明了最大独立集的密度为 $\left(\frac{r\log d}{(r-1)d}\right)^{1/(r-1)}$。我们证明低次多项式算法类可以找到密度为 $\left(\frac{\log d}{(r-1)d}\right)^{1/(r-1)}$ 的独立集，但无法找到更大的。这推广并扩展了 Gamarnik 和 Sudan、Rahman 和 Virag 以及 Wein 关于图的结果，并回答了 Bal 和 Bennett 的一个问题。我们猜想这种统计-计算差距对于该问题成立。此外，我们通过考察 $r$-部超图来探索这种差距的普适性。超图 $H=(V,E)$ 是 $r$-部的，如果存在划分 $V=V_1\cup\cdots\cup V_r$ 使得每条边恰好包含每个集合 $V_i$ 中的一个顶点。我们考虑在随机 $r$-部超图中寻找大的平衡独立集（在每个划分中包含相同顶点数的独立集）的问题，其中每个划分有 $n$ 个顶点，平均度为 $d$。我们证明最大平衡独立集的密度渐近为 $\left(\frac{r\log d}{(r-1)d}\right)^{1/(r-1)}$。此外，我们证明了类似的低度计算阈值 $\left(\frac{\log d}{(r-1)d}\right)^{1/(r-1)}$。我们的结果恢复并推广了 Perkins 和第二作者关于二分图的工作。虽然图的情况已被广泛研究，但本文是首次考虑随机超图上优化问题的统计-计算差距。我们的结果表明这些差距在更大的均匀性以及许多模型中持续存在。平衡独立集差距的一个有点令人惊讶的方面是，达到下界的算法是一个简单的度-1多项式。